Actualización del álgebra lineal (página 2)

4.- EL PRODUCTO DE
DOS ARREGLOS .-

Si se tienen dos arreglos A y B, se pueden inventar
diversas maneras de hacer la multiplicación de esos dos
arreglos :

Caso 1 : Matrices.-

Multiplicar fila de A por columna de B , que es el caso
del álgebra
matricial.

Ejemplo :

56 = 1×7 + 5×8 + 9×1 66 = 1×9 + 5×6 +
9×3 67 = 1×2 + 5×4 + 9×5

78 = 7×7 + 3×8 + 5×1 96 = 7×9 + 3×6 +
5×3 51 = 7×2 + 3×4 + 5×5

94 = 4×7 + 8×8 + 2×1 90 = 4×9 + 8×6 +
2×3 50 = 4×2 + 8×4 + 2×5

Es imperioso señalar que en el álgebra
matricial el producto de dos matrices deben ser conformes para la
multiplicación; así se tiene que

A ( m, n) x B( p , q) = C( m, q)

para que sean conformes para la multiplicación
debe cumplirse : n = p.

Caso 2 : Cracovianos.

Se multiplican las columnas del primer arreglo por las
columnas del segundo arreglo, siendo cada arreglo un Cracoviano.
Esto da origen al álgebra

Cracoviana, desarrollada en 1925 por el
Astrónomo, Geodesta y Matemático polaco TADEUSZ
BANACHEWICZ ( 1822 – 1954 )

67 = 1×7 + 7×8 + 4×1 63 = 1×9 + 7×6 +
4×3 50 = 1×2 + 7×4 + 4×5

67 = 5×7 + 3×8 + 8×1 87 = 5×9 + 3×6 +
8×3 62 = 5×2 + 3×4 + 8×5

105 = 9×7 + 5×8 + 2×1 117 = 9×9 + 5×6
+ 2×3 48 = 9×2 + 5×4 + 2×5

Caso 3 : Producto Kronecker.

Utilizando los productos
Kronecker Directo o Kronecker Inverso, desarrollados por el
matemático alemán LEOPOLD KRONECKER (1823 –
1891 ),

( uno de los creadores de la moderna álgebra
abstracta ), y que sirve de base para la llamada ÁLGEBRA
DE ARREGLOS ( ARRAY ÁLGEBRA ), de mucha importancia hoy
día.

La gran ventaja del Producto Kronecker ( ya sea el
Directo o el Inverso ) es que permite multiplicar dos arreglos,
cualquiera que sea el orden de ellos; así un arreglo de
3×3 y otro de 2×2 se pueden multiplicar, mientras que en el
álgebra matricial o cracoviana no se pueden
multiplicar.

En el producto Kronecker Directo se tiene por ejemplo
:

Ejemplo :

En el producto Kronecker Inverso se tiene por ejemplo
:

Ejemplo :

Caso 4 : Producto Khatri-Rao.-

Utilizando el producto KHATRI-RAO Completo, requiere que
los dos

arreglos sean del mismo orden y el producto se expresa
de la manera siguiente :

El producto Khatri-Rao fue introducido por los
matenaticos hindúes C. R. Rao y C. G. Khatri en 1968. C.R.
RAO significa Calyampudi RadhaKrishna Rao.

Por ejemplo :

Utilizando el Producto Khatri-Rao reducido , se obtiene
una simplificación de las operaciones
:

Según el ejemplo anterior : A( 3, 2 ) y B( 3, 2 )
por lo tanto C ( 6, 2 )

Ejemplo :

z = ( 3 x ( 3 + 1 ))/2 = 6

por lo tanto :

Caso 5 : Producto Hadamard.-

Utilizando el Producto Hadamard, desarrollado por el
longevo Francés Jacques Hadamard ( 1865 – 1963 ),
que requiere que los dos arreglos sean del

mismo orden, se obtiene lo siguiente :

Existen otros tipos de Productos de dos arreglos,
como el Relic product, por ejemplo, pero se considera suficiente
con los presentados en esta breve introducción, lamentando que en los cursos
universitarios y en los textos de álgebra
lineal, no se presentan y ni siquiera se mencionan esos
productos, a pesar de que muchos hablan de una álgebra
lineal moderna.

5.- LA
INVERSA GENERALIZADA.

El álgebra matricial clásica sostiene
que la matriz inversa
de una matriz A debe cumplir varias condiciones :

– que la matriz A sea una matriz
cuadrada

– que la matriz A no sea singular; es decir que su
determinante no

no sea cero

– que la matriz A satisfaga la expresión
A­¹ x A = A x A­¹ = I

siendo I la matriz identidad

Se define en el álgebra matricial
clásica como matriz inversa, la cual se designará
como A-¹, de una matriz A dada, a la matriz calculada
así :

1

A­¹ = ———————— x
A

Determinante de A adjunto

Ejemplo :

por lo tanto :

El concepto de la
inversa generalizada fue introducida por el matemático
norteamericano ELIAKIM HASTINGS MOORE ( 1862 – 1932 ), a
quien se

considera como el "padre de la matemática
norteamericana" , en 1920, que permite obtener la inversa de
cualquier matriz, sea cuadrada o no, singular o no, lo cual no es
posible realizar con la inversa clásica. Una
solución diferente ya había sido planteada por el
Geodesta Alemán FRIEDRICH ROBERT HELMERT ( 1841 –
1917 ) en el año 1906 y en 1916. Dada la poca acogida a lo
planteado por E. H. MOORE, éste vuelve a presentar la
inversa generalizada de una manera mas amplia, pero por la escasa
referencia que se encuentra en la literatura entre 1920 y
1949, se desprende que no tuvo receptividad.

Para el año 1948 el geodesta y matemático
Finlandés ARNE BJERHAMMAR

presenta una nueva definición de la inversa
generalizada, independiente de los trabajos de E. H. MOORE, y la
aplica al cálculo de
compensación por el método de
los cuadrados mínimos o Norma de Gauss-Legendre,
además introduce la estimación estocástica
con el uso de la inversa generalizada. Durante el período
que va desde 1948 hasta 1971 desarrolló ampliamente todo
lo relativo a la inversa generalizada, con aportes y
publicaciones diversas.

La matriz inversa generalizada de una matriz A de orden
n x m es una matriz A­¹, que algunos designan como A+ o
bien Ag que satisface la relación siguiente :

A x A-¹ x A = A o bien A-¹ x A x A-¹ =
A-¹

Siendo la relación de la inversa clásica
:

A x A-¹ = A-¹ x A = I ( matriz identidad
)

un caso particular de la inversa
generalizada.

Para hallar la inversa generalizada de una matriz, la
cual puede no ser única , se utiliza la inversa
clásica si una matriz cuadrada puede ser obtenida por
partición y ser invertible en forma clásica. Esto
nos plantea varios casos :

CASO A :

CASO B :

CASO C :

Para cualquiera de estos tres casos A, B y C la matriz
inversa generalizada A-¹ es la matriz inversa clásica
de la sub-matriz cuadrada no singular , más la
adición de elementos ceros para llevar la matriz A-¹
al orden correcto, puesto que para la matriz dada A de orden m x
n la inversa generalizada A-¹ es de orden n x m

Ejemplo ilustrativo :

Consideremos un sistema de
ecuaciones
lineales escrito en forma matricial :

que en forma simbólica se escribe de la manera
siguiente :

A x X = L por lo tanto : X = A-¹ x
L

Obsérvese que la matriz A es una matriz de 4 x 3
la cual no podemos hallarle su inversa clásica, por no ser
una matriz cuadrada. Apliquemos los casos A, B y C antes
presentados.

CASO A :

por lo tanto :

CASO B :

por lo tanto

CASO C :

por lo tanto :

Para la matriz A se han obtenido TRES matrices inversas.
Si calculamos las incógnitas X1,X2 y X3 se obtienen los
mismos resultados.

CASO A :

Si al sistema de ecuaciones lineales le aplicamos el
concepto de las ecuaciones normales, se tiene lo siguiente
:

A x X = L

multiplicando cada lado por la matriz transpuesta de A,
que designamos como At se obtiene lo siguiente :

At x A x X = At x L

Por lo tanto :

X = ( At x A )-¹ x At x L

Denominando :

At x A = N y At x L = F

Resulta :

X = N-¹ x F

Para el caso del ejemplo ilustrativo del sistema de
ecuaciones lineales resulta :

Como la matriz N es una matriz cuadrada y
simétrica ( siempre lo será ), no singular, se
puede aplicar la inversa clásica, obteniéndose
finalmente :

Cuando se tiene una matriz A cuadrada pero singular, en
la que se cumple que :

Determinante de At x A = Determinante de A x At =
CERO

Entonces la matriz inversa generalizada puede ser
obtenida usando la orladura ortogonal de la matriz A , de manera
tal que las columnas ortogonales generen una matriz B y las filas
ortogonales generen una matriz C, resultando una matriz U
cuadrada no singular.

En la cual se cumplen :

At x B = 0 A x B = 0 Determinante de U ≠
0

A x Ct = 0 A x C = 0 Determinante de B x Bt ≠
0

Determinante de C x Ct ≠ 0

Es decir : A11 x B11 + A21 x B21 + A31 x B31 =
0

A12 x B12 + A22 x B22 + A32 x B32 = 0

A11 x C11 + A12 x C12 + A13 x C13 = 0

A21 x C21 + A22 x C22 + A23 x C23 = 0

Ejemplo ilustrativo :

Determinante de A = 0 Rango de A = 1 Defecto de rango
= 2

por lo tanto la inversa generalizada de A será
:

Otra alternativa para hallar la matriz inversa
generalizada es utilizar la inversa de F. R. HELMERT, donde la
inversa de una matriz cuadrada y singular, debe cumplir la
condición siguiente :

N-¹ = N x ( N x N )-¹ x N x ( N x N
)-¹ x N

La matriz ( N x N )-¹ es una nueva matriz
resultante del producto de N por si misma, pero eliminando tantas
filas y columnas como defecto de rango tenga la matriz N . Esta
sub-matriz así particionada no es singular y se le puede
determinar su inversa clásica. Para obtener nuevamente las
dimensiones de la matriz N original , se completa con elementos
cero las filas y columnas antes eliminadas.

Ejemplo ilustrativo :

Determinante de N = 0 Rango de N = 2 Defecto de rango
= 1

Como el defecto de rango de la matriz N es uno, debemos
eliminar en la matriz N x N una fila y una columna, resultando
:

cuyo determinante es 2156, por lo tanto no es singular y
le determinamos su inversa clásica, obteniéndose
:

Acompletando con elementos cero la fila y la columna
antes eliminadas se obtiene lo siguiente :

Finalmente calculamos la matriz inversa de N aplicando
la expresión :

N-¹ = N x (N x N )-¹ x N x ( N x N )-¹
x N

Obteniéndose lo siguiente :

la cual satisface las condiciones :

N x N-¹ x N = N

N-¹ x N x N-¹ = N-¹

Otra alternativa para obtener una matriz inversa
generalizada es mediante el uso de la Descomposición en
Valores
Singulares de una matriz cualquiera.

6.-
TIPOS DE INVERSA GENERALIZADA.

a ) MATRIZ RECÍPROCA INVERSA

Toda matriz A cuya inversa A-¹ satisface la
relación :

A-¹ x A x A-¹ = A-¹

Se dice que A-¹ es una MATRIZ RECIPROCA INVERSA si
y sólo si el

Rango de A es igual al rango de A-¹

Ejemplo :

Entonces A-¹ es una matriz reciproca inversa de
A

b) MATRIZ NORMAL INVERSA

Toda matriz A-¹ que satisface la relación
:

At x ( A x At )-¹ = A-¹

es una matriz NORMAL INVERSA . Toda matriz normal
inversa es

también una matriz reciproca inversa.

Ejemplo :

c ) MATRIZ TRANSNORMAL INVERSA

Toda matriz A-¹ que satisface la relación
:

( At x A )-¹ x At = A-¹

es una matriz TRANSNORMAL INVERSA

Ejemplo :

La matriz Transnormal Inversa es una matriz
Reciproca.

La matriz transnormal Inversa es muy útil para
determinar la inversa

generalizada de una matriz cuadrada y singular, siempre
y cuando la

matriz A pueda ser particionada de manera tal que
:

Donde B contiene los elementos independientes de
A

Es importante recordar que la partición puede ser
realizada de diferentes

maneras tal como se expuso anteriormente.

d) MATRIZ INVERSA DE MOORE – PENROSE

Una matriz A-¹ de orden m x n es la INVERSA
GENERALIZADA de la

matriz A si se satisfacen simultáneamente las
condiciones siguientes :

(1) A x A-¹ x A = A (3) ( A x A-¹ )t = A x
A-¹

(2) A-¹ x A x A-¹ = A-¹ (4) (A-¹
x A )t = A-¹x A

Existen otros tipos de Inversa generalizadas tales como
la inversa reflexiva, la de Rao, la de Drazin, etc. Pero se
considera suficiente con lo presentado, debido al limitado
espacio y este trabajo no es
un texto o curso
al respecto.

7.- DESIGUALDAD DE F. SCHUR

El matemático FRIEDRICH SCHUR ( 1856 – 1932
) estableció en 1909 lo que se denominó la
DESIGUALDAD de SCHUR :

siendo λ los Eigenvalues, denominados
tambiιn : valor propio,
valor característico, valor invariante, auto
valor.

Aj,k son los elementos de una matriz A
cuadrada.

Consideremos la matriz A siguiente :

cuyos valores propios o eigenvalues son :

λ1 = 30 λ2 = 25 λ3 =
20

por lo tanto :

por lo tanto se cumple la Desigualdad de F. Schur
:

1925 < 1949

Esta desigualdad de Schur no es mencionada ni presentada
en los cursos y los textos de Álgebra Lineal, que se
designan como modernos.

8.-
ENUNCIADO DE GERSHGORIN

GERSHGORIN, matemático Ruso, estableció en
1931, que los eigenvalues o

valores propios de una matriz están contenidos en
una región de círculos.

El circulo D1 tiene su centro en 26 y su radio es – 2 + 2
= 4

El círculo D2 tiene su centro en 21 y su radio es
2 + 4 = 6

El circulo D3 tiene su centro en 28 y su radio es 4 + 2
= 6

Si calculamos los eigenvalues o valores propios de la
matriz A se obtienen :

λ1 = 30 λ2 = 25 λ3 =
20

lo cual nos permite concluir que estos valores
están dentro de la región de los
círculos.

Este es otro tópico que ni se menciona ni se
presenta en los cursos y textos de Álgebra Lineal que se
designan como modernos.

Con esta breve presentación de algunos
tópicos que no se mencionan ni se consideran en los Cursos
de Álgebra Lineal, a pesar que existen otros
tópicos más, se cree haber hecho una llamada de
atención sobre los cursos que se dictan de
Álgebra Lineal, a fin de que se haga un enfoque más
real y esclarecedor sobre otros aspectos.

Bibliografía

1.- Computational Methods of Linear
Álgebra

D. K. Faddeev and V. N. Faddeeva

Traducido del Ruso al Ingles por Robert C.
Williams

Publicado por W. H. Freeman and Company en
1963

2.- Álgebra Lineal. Una introducción
moderna

por David Poole

Editorial Thomson Learning – 2004

3.- Algebra Lineal

por David R. Hill y Bernard Colman

Editoral Pearson ( Prentice Hall ) –
2006

4.- Applied Linear Algebra

por Ben Noble y James W. Daniel

Tercera Edición
Prentice Hall – 1989

5.- Álgebra Lineal

por Stanley I. Grossman

Mc Graw Hill – Interamericana de México
– 1996

6.- Linear Álgebra

por Stephen H. Friedberg, Arnold J. Insel y Lawrence
E. Spence

Prentice Hall – 1997

7.- Algebra Lineal

por Fraleigh Beauregard

Editorial Educativa de Mexico –
1989

El Autor :

Manuel Marcelino Lunar González

Nacido en Maracaibo, Estado Zulia,
Venezuela.

Agrimensor graduado en la Universidad del
Zulia, Venezuela

Ingeniero Geodesta ( Universidad del Zulia, Venezuela
)

Postgrado en Fotogrametría en el I.T.C.
Holland

Postgrado en Mediciones en University of New Brunswick,
Canada

Profesor Titular Jubilado de la Universidad del Zulia,
Venezuela.